Cálculo Ejemplos

$\int \cot^{2} (7 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cot^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Paso 2

Combina $\cot^{2} (u)$ y $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\cot^{2} (u)}{7} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int \cot^{2} (u) d u$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (u)$ como $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{7} \int - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{7} (\int - 1 d u + \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{7} (- u + C + \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{7} (- u + C - \cot (u) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{7} (- u - \cot (u)) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$\frac{1}{7} (- (7 x) - \cot (7 x)) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{7} (- 7 x - \cot (7 x)) + C$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{7} (- 7 x) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $7$ de $- 7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Paso 10.3.3

Reescribe la expresión.

$- x + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Paso 10.4

Combina $\frac{1}{7}$ y $\cot (7 x)$ .

$- x - \frac{\cot (7 x)}{7} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- x - \frac{1}{7} \cot (7 x) + C$