Cálculo Ejemplos

$\int \cot^{4} (x) d x$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\cot (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 3

Simplifica.

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Paso 8

Aplica la fórmula de reducción.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 9

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Paso 10.2.2

Para escribir $2 \cot (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Paso 10.2.3

Combina $2 \cot (x)$ y $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Paso 10.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Paso 10.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Paso 10.2.6

Resta $2 \cot (x)$ de $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$