Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

Paso 1

Sea $u = 1 - 6 t$ . Entonces $d u = - 6 d t$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - 6 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 6 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6 t$ con respecto a $t$ es $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 - 6$

Paso 1.1.4

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

Paso 2.3

Mueve $6$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $d$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

Paso 5.1.2

Combina $t$ y $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $u^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 4}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $u^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Paso 7.1.2

Mueve $u^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Paso 7.2

Reescribe $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ como $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $t$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Paso 7.3.2

Combina $d$ y $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 7.3.4

Multiplica $\frac{d t}{6}$ por $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 7.3.5

Multiplica $\frac{d t}{6}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

Paso 7.3.6

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$