Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $3 \cos (t)$ de ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Paso 2.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Paso 4.2

Combina $d$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Paso 4.3

Combina $x$ y $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de $- \cot (t)$ es $\csc^{2} (t)$ , la integral de $\csc^{2} (t)$ es $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ como $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{x}{9}$ y $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{x d}{9}$ y $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{3})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Por lo tanto, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ es $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Paso 8.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.9

Multiplica $\frac{3 + x}{3}$ por $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.11

Reescribe $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Paso 8.11.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.11.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.11.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.12

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.13

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.14

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.14.1

Cancela el factor común.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Paso 8.14.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Paso 8.15

Combina $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Paso 8.16

Combina exponentes.

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Paso 8.16.1

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Paso 8.16.2

Combina $d$ y $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Paso 8.17

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Paso 8.18

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.18.1

Reduce la expresión $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.18.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Paso 8.18.1.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Paso 8.18.2

Divide $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ por $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$