Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{4} (2 x) \sec^{4} (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\tan^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{2} \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{\tan^{4} (u_{1})}{2}$ y $\sec^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) (\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) ((1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 7

Multiplica ${u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} \cdot 1 + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica ${u_{2}}^{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 8.2

Multiplica ${u_{2}}^{4}$ por ${u_{2}}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Paso 8.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{4}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{6}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (u_{1}) + \frac{1}{7} \tan^{7} (u_{1})) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (2 x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (2 x)) + C$