Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\tan^{3} (u_{1})$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Factoriza $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

La integral de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Sea $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Paso 10.1.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Paso 13.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Paso 14.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| \sec (3 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Paso 14.4

Combinar.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Paso 14.5

Simplifica cada término.

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Paso 14.5.1

Multiplica $\sec^{2} (3 x)$ por $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Paso 14.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$