Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\cos^{4} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Paso 4

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Expande $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.8

Mueve $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.9

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.10

Mueve $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.11

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.12

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.13

Mueve $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Paso 5.14

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.15

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Paso 5.16

Mueve los paréntesis.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.17

Mueve $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.18

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.19

Multiplica $u^{7}$ por $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.20

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.21

Factoriza el negativo.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.23

Suma $7$ y $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.24

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.25

Factoriza el negativo.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.26

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.27

Suma $7$ y $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.28

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.29

Multiplica $u^{7}$ por $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.30

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Paso 5.31

Suma $7$ y $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Paso 5.32

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Paso 5.33

Suma $9$ y $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Paso 5.34

Resta $u^{9}$ de $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Paso 5.35

Reordena $- 2 u^{9}$ y $u^{11}$ .

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Paso 5.36

Mueve $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{11}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$