Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (12 x^{2}) d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (x^{2}) d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + 4 x^{3}$ . Entonces $d u = 12 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + 4 x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 \int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{12}$ .

$12 \int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $12$ .

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \sqrt{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + 4 x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$