Cálculo Ejemplos

$\int t e^{- t^{2}} d t$

Paso 1

Sea $u = - t^{2}$ . Entonces $d u = - 2 t d t$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 t)$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 t$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t^{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$