Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{4} (x) \tan^{4} (x) d x$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{4} (x) d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Paso 4

Multiplica $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Paso 5.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Paso 5.2.2

Suma $2$ y $4$ .

$\int u^{4} + u^{6} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int u^{6} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (x) + C$