Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u^{3}}$ como $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{3}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 4.3.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ como $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 8.2

Convierte de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.3

Divide $2$ por $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$