Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{2} (3 x) \cos (3 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (3 x)$ . Entonces $d u_{2} = 3 \cos (3 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = \cos (3 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (3 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\cos (3 x) \cdot 3$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2

Combina ${u_{2}}^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{2}}{3} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{9} {u_{2}}^{3} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{9} \sin^{3} (3 x) + C$