Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 4

Combina $\csc (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 6.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 7

La integral de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Paso 8

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \cot (2 x) d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 10

Combina $\cot (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 12.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\cot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Paso 14.2

Evalúa $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 ((\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 14.3

Elimina los paréntesis.

$4 (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$4 (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15.4

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Paso 15.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Paso 15.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Paso 15.8

Suma $1$ y $0$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Paso 15.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Paso 15.10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Paso 15.11

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 16.2

$\sqrt{2} - 1$ es aproximadamente $0.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 16.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ es aproximadamente $0.70710678$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 16.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 16.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$2.13919998 \dots$