Cálculo Ejemplos

$\int r e^{\frac{r}{2}} d r$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = r$ y $d v = e^{\frac{r}{2}}$ .

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} r} d r$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $r$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$r (2 e^{\frac{1}{2} r}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} r} d r)$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $r$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - (2 \int e^{\frac{r}{2}} d r)$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{\frac{r}{2}} d r$

Paso 4

Sea $u = \frac{r}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d r$ , de modo que $2 d u = d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \frac{r}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{r}{2}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{2}]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{r}{2}$ con respecto a $r$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [r]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Paso 7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Paso 9

Reescribe $r (2 e^{\frac{r}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ como $2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{r}{2}$ .

$2 r e^{\frac{r}{2}} - 4 e^{\frac{r}{2}} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$2 r e^{\frac{1}{2} r} - 4 e^{\frac{1}{2} r} + C$