Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Paso 1

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Paso 3

Sea $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Entonces $d u = (6 x - 12) d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 3.1.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Paso 3.1.5.2

Suma $6 x - 12$ y $0$ .

$6 x - 12$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Paso 4.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$