Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Paso 5

La integral de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Paso 7

Simplifica.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$