Cálculo Ejemplos

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Paso 1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $6$ de $12 x + 18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza $6$ de $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $6$ de $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $6$ de $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Paso 3

Sea $u = (x - 1) (x + 4)$ . Entonces $d u = (2 x + 3) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u = (x - 1) (x + 4)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 3.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Paso 3.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Paso 3.1.3.8.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Paso 3.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Paso 3.1.3.8.4

Suma $- 1$ y $4$ .

$2 x + 3$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$