Cálculo Ejemplos

$\int \frac{12}{1 + 9 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x$

Paso 2

Factoriza $9$ de $1 + 9 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $9$ de $1$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Paso 2.2

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Paso 2.3

Factoriza $9$ de $9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + x^{2})} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $12$ .

$\frac{12}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 (4)}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 7.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Paso 7.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (x \cdot 3) + C)$

Paso 7.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$

Paso 7.2

Reescribe $\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$ como $\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$ .

$\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{3} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 7.3.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \arctan (3 x) + C$

Paso 7.3.3.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \arctan (3 x) + C$