Cálculo Ejemplos

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Paso 1

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 x^{4} + 3$ . Entonces $d u = 16 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 x^{4} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $16 x^{3}$ y $0$ .

$16 x^{3}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

Paso 3.2

Mueve $16$ a la izquierda de $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{16}$ y $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$