Cálculo Ejemplos

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Paso 1

Factoriza $5 x$ de $10 x^{3} - 5 x$ .

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Paso 1.1

Factoriza $5 x$ de $10 x^{3}$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $5 x$ de $- 5 x$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Paso 1.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Entonces $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

Paso 7.1.2

Diferencia.

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Paso 7.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Paso 7.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Paso 7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

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Paso 7.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Paso 7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $6$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$2 u_{1} - 1 + 0$

Paso 7.1.4.2

Suma $2 u_{1} - 1$ y $0$ .

$2 u_{1} - 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 8.2

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$