Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{3} (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {u_{2}}^{3} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina ${u_{2}}^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{3}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{8} \cos^{4} (2 x) + C$