Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x + 3}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{5 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$\frac{5 x + 3}{x (x^{2} - 2 x - 3)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza.

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.1.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{5 x + 3}{x ((x - 3) (x + 1))}$

Paso 1.1.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{5 x + 3}{x (x - 3) (x + 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.7.2

Divide $5 x + 3$ por $1$ .

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$5 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A ((x - 3) (x + 1))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A ((x - 3) (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.2

Expande $(x - 3) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A (x (x + 1) - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.3.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$5 x + 3 = A (x^{2} - 2 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.5

Simplifica.

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Paso 1.1.8.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.5.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.1.8.6.1

Cancela el factor común.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.6.2

Divide $(B) (x (x + 1))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + (B) (x (x + 1)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.10

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.11

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.8.11.1

Cancela el factor común.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

Paso 1.1.8.11.2

Divide $(C) (x (x - 3))$ por $1$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + (C) (x (x - 3))$

Paso 1.1.8.12

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Paso 1.1.8.13

Multiplica $x$ por $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Paso 1.1.8.14

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Paso 1.1.8.15

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Paso 1.1.8.16

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Mueve $A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.1.9.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.1.9.3

Reordena $B$ y $x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

Paso 1.1.9.4

Mueve $- 3 A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x - 3 A$

Paso 1.1.9.5

Mueve $B x$ .

$5 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + B x - 3 C x - 3 A$

Paso 1.1.9.6

Mueve $- 2 x A$ .

$5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - 3 C x - 3 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = - 3 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $3 = - 3 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 3 A = 3$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 3 A = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B + C$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = - 2 A + B - 3 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $5 = - 2 A + B - 3 C$ por $- 1$ .

$5 = - 2 \cdot - 1 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$5 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $5 = 2 + B - 3 C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 + B - 3 C = 5$ .

$2 + B - 3 C = 5$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B - 3 C = 5 - 2$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $3 C$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 5 - 2 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.3.2.3

Resta $2$ de $5$ .

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 3 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3 + 3 C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = - 1 + B + C$ por $3 + 3 C$ .

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica $0 = - 1 + 3 + 3 C + C$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 3 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.2.1

Simplifica $- 1 + 3 + 3 C + C$ .

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Paso 1.3.4.2.2.1.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$0 = 2 + 3 C + C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.4.2.2.1.2

Suma $3 C$ y $C$ .

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 2 + 4 C$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5

Resuelve $C$ en $0 = 2 + 4 C$ .

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $2 + 4 C = 0$ .

$2 + 4 C = 0$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 C = - 2$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3

Divide cada término en $4 C = - 2$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.3.1

Divide cada término en $4 C = - 2$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 2}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 1.3.5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$C = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$C = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 3 + 3 C$

$A = - 1$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- \frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 3 + 3 C$ por $- \frac{1}{2}$ .

$B = 3 + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.1

Simplifica $3 + 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1.1.1

Multiplica $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$B = 3 - 3 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 + \frac{- 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = 3 - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.2.1.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.6.2.1.5.2

Resta $3$ de $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = - 1$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 2}$

Paso 1.5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (x - 3)} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x - 3$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 6.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 10

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 10.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 3$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + C$