Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5.2

Divide $5 x + 1$ por $1$ .

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.5.2

Divide $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Paso 1.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Paso 1.1.6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Paso 1.1.6.8

Multiplica $B$ por $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

Paso 1.1.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1

Mueve $B$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

Paso 1.1.7.2

Mueve $- A$ .

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$5 = A + 2 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $5 = A + 2 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $5 - 2 B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $5 - 2 B$ .

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (5 - 2 B) + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $2 B$ y $B$ .

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - 5 + 3 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 5 + 3 B = 1$ .

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.2.2

Suma $1$ y $5$ .

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $3 B = 6$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $3 B = 6$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 5 - 2 B$ por $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $5 - 2 \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $4$ de $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

Paso 1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$