Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.1.2.5

Divide $4 x^{2}$ por $1$ .

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Paso 8.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.3.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 8.3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.4.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 8.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 8.4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 8.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Reordena los términos.

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$