Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Paso 4.4

Resta $1$ de $3$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

Paso 4.6

Simplifica.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

Paso 4.7

Reordena $4 x^{- \frac{1}{2}}$ y $5 x$ .

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$