Cálculo Ejemplos

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3 π$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 1.3

Reordena los factores de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 3 π$ .

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

Paso 1.5.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

Paso 1.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

Paso 1.5.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 1 \cos (\sin (π))$

Paso 1.5.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Paso 1.5.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Paso 1.5.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.5.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(3 π, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Paso 2.3.2

Simplifica $- 1 \cdot (x - 3 π)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

Paso 2.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.2.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 (- 3 π)$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = - x + 3 π$

Paso 3