Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = 4 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 4 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $16$ de $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $16$ de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $16$ de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $16 \cos^{2} (t)$ como ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $4 \cos (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

Paso 3

Dado que $64$ es constante con respecto a $t$ , mueve $64$ fuera de la integral.

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

Paso 4

Factoriza $\sin^{2} (t)$ .

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Paso 6

Sea $u = \cos (t)$ . Entonces $d u = - \sin (t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (t)$ .

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{4})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ . Por lo tanto, $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.8

Multiplica $\frac{4 + x}{4}$ por $\frac{4 - x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.10

Reescribe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 12.1.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.10.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.1.12

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ al numerador.

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.4.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.4.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.4.4

Reescribe la expresión.

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Paso 12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.8

Multiplica $\frac{4 + x}{4}$ por $\frac{4 - x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.9

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.10

Reescribe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ como ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 12.6.10.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.10.2

Factoriza la potencia perfecta $4^{2}$ de $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.11

Retira los términos de abajo del radical.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.12

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

Paso 12.6.13

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14

Simplifica el numerador.

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Paso 12.6.14.1

Reescribe ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ como $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.2

Aplica la regla del producto a $(4 + x) (4 - x)$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.3

Reescribe ${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ como ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Paso 12.6.14.3.1

Factoriza ${(4 + x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.3.2

Factoriza ${(4 - x)}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.3.3

Mueve $4 + x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.3.4

Reescribe ${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ como ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.3.5

Agrega paréntesis.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.5

Expande $(4 + x) (4 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.6.14.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.6.14.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.6.14.6.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.6.14.6.1.5.1

Mueve $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.2

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.6.3

Suma $16$ y $0$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.8

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Paso 12.6.14.8.1

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.8.2

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.8.3

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.9

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.14.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

Paso 12.6.15

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

Paso 12.7

Simplifica cada término.

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Paso 12.7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Paso 12.7.2

Multiplica $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 12.7.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Paso 12.7.2.2

Multiplica $64$ por $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

Paso 12.7.3

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 12.7.3.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

Paso 12.7.3.2

Cancela el factor común.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Paso 12.7.3.3

Reescribe la expresión.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Paso 12.8

Para escribir $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Paso 12.9

Combina $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Paso 12.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Paso 12.11

Simplifica el numerador.

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Paso 12.11.1

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

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Paso 12.11.1.1

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Paso 12.11.1.2

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Paso 12.11.1.3

Factoriza $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ de $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Paso 12.11.2

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Paso 12.11.3

Expande $(4 + x) (4 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.11.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

Paso 12.11.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

Paso 12.11.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Paso 12.11.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.11.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.11.4.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Paso 12.11.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Paso 12.11.4.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

Paso 12.11.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

Paso 12.11.4.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.11.4.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

Paso 12.11.4.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

Paso 12.11.4.2

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

Paso 12.11.4.3

Suma $16$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

Paso 12.11.5

Suma $- 48$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

Paso 12.12

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

Paso 12.13

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

Paso 12.14

Factoriza $- 1$ de $- 1 (32) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

Paso 12.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$