Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Reorganiza los términos.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 3

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 4

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6

Simplifica.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 7

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 11

Simplifica.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$