Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Divide $x^{3}$ por $x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 - x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Paso 1.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Paso 1.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x + \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C$