Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $9 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{729 \cos^{6} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.9

Reescribe $729 \cos^{6} (t)$ como ${(27 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(27 \cos^{3} (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{27 \cos^{3} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $3 \cos (t)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $3 \cos (t)$ de $27 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) (9 \cos^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{9 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 5

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$\frac{1}{9} (\tan (t) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{9} \tan (t) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{9} \tan (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$