Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = 5 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $25$ de $25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $25 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Eleva $25$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.9

Reescribe $15625 \cos^{6} (t)$ como ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $5 \cos (t)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $5 \cos (t)$ de $125 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{25}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{25}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 5

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$