Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{{(16 - x^{3})}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 16 - x^{3}$ . Entonces $d u = - 3 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 16 - x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $16 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Paso 1.1.4

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Paso 2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$ como $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 (16 - x^{3})} + C$