Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{x^{3}}$ y quítalo del denominador.

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

Paso 1.2.3

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$