Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Paso 4.1.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Paso 4.1.4

Reorganiza los términos.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 7

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Paso 7.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$