Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

Paso 1

Sea $x = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $5 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $5 \sec (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int 5 \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 3

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\int 5 \tan^{2} (t) d t$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \tan^{2} (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$5 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$5 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 11

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$5 (- t + C + \tan (t) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$5 (- t + \tan (t)) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \tan (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{5})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ es $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}) + C$

Paso 14.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Paso 14.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{5}$ y $b = 1$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Paso 14.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Paso 14.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Paso 14.1.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}) + C$

Paso 14.1.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}) + C$

Paso 14.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}) + C$

Paso 14.1.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}) + C$

Paso 14.1.10

Multiplica $\frac{x + 5}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}) + C$

Paso 14.1.11

Multiplica $5$ por $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}}) + C$

Paso 14.1.12

Reescribe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Paso 14.1.12.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}) + C$

Paso 14.1.12.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}) + C$

Paso 14.1.12.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) + C$

Paso 14.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + C$

Paso 14.1.14

Combina $\frac{1}{5}$ y $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $- arcsec (\frac{x}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Paso 14.3

Combina $- arcsec (\frac{x}{5})$ y $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Paso 14.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 14.5.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Paso 14.5.2

Reescribe la expresión.

$- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Paso 14.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- 5 arcsec (\frac{1}{5} x) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$