Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Paso 1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Entonces $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{3}} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 2.1.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Paso 2.1.5.2.2

Suma $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 3 u d u$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Paso 5.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$