Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sec (t)}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2 \tan (t)}$ por $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Paso 4

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$