Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{(x - 2) (x - 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

Paso 1.1.7.7

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A x - A + B x - 2 B$

Paso 1.1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A - 2 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A - 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) - 2 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $2 B$ de $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$