Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x (x - 1)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 1)$ .

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.1.2

Divide $A (x - 1)$ por $1$ .

$1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.5.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

Paso 1.1.5.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x)$

$1 = A x - A + B x$

Paso 1.1.6

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = - 1 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Paso 1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Paso 1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = - 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = - 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 5

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

Paso 7

Simplifica.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \ln (| x - 1 |) + C$