Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{5 - 8 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 - 8 x$ . Entonces $d u = - 8 d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 - 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 - 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 8 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 8 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$0 - 8$

Paso 1.1.4

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Paso 2.3

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{8 u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{8 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - 8 x$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| 5 - 8 x |) + C$