Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{4 + 9 x^{2}} d x$

Paso 1

Factoriza $9$ de $4 + 9 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $9$ de $4$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Paso 1.3

Factoriza $9$ de $9 (\frac{4}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{9 (\frac{4}{9} + x^{2})} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{4}{9} + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $\frac{4}{9}$ como ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{2}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{2}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{2}) \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Paso 5.1.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{3}}) + C)$

Paso 5.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (x \frac{3}{2}) + C)$

Paso 5.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{x \cdot 3}{2}) + C)$

Paso 5.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{2} \arctan (\frac{3 \cdot x}{2}) + C)$

Paso 5.1.6

Combina $\frac{3}{2}$ y $\arctan (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{2})}{2} + C)$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{2})}{2} + C)$ como $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 2} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{3}{18} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $18$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{18} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{3}{2} x) + C$