Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{3 + 25 x^{2}} d x$

Paso 1

Factoriza $25$ de $3 + 25 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $25$ de $3$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $25$ de $25 x^{2}$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Paso 1.3

Factoriza $25$ de $25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})$ .

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25} + x^{2})} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{25}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{25}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{3}{25} + x^{2}} d x$

Paso 3

Reescribe $\frac{3}{25}$ como ${(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2}$ .

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{1}{25} (1 \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Paso 5.1.2

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{3}}$ por $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Paso 5.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (x \frac{5}{\sqrt{3}}) + C)$

Paso 5.1.4

Combina $x$ y $\frac{5}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x \cdot 5}{\sqrt{3}}) + C)$

Paso 5.1.5

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \cdot x}{\sqrt{3}}) + C)$

Paso 5.1.6

Combina $\frac{5}{\sqrt{3}}$ y $\arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$ como $\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$ .

$\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{25 \sqrt{3}} + C$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})$ .

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{25 \sqrt{3}} + C$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $25 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 \sqrt{3}} + C$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{5 \sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \sqrt{3}}{3} x) + C$