Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} + 48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 x^{2} + 48 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} + 96 x$ .

$36 x^{2} + 96 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} + 96 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} + 96 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $36 x^{2} + 96 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 96 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $96 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (8) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (3 x) + 12 x (8)$ .

$12 x (3 x + 8) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 8$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (3 x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{8}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 16 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 16 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $16$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{8}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{8}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 {(- \frac{8}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{8}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (1 (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $\frac{8^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{8^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.4

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{81}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (\frac{4096}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Paso 3.3.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{3})}^{3})$

Paso 3.3.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3}}{3^{3}}))$

Paso 3.3.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{8^{3}}{3^{3}})$

Paso 3.3.2.1.9

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{3^{3}})$

Paso 3.3.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + 16 (- \frac{512}{27})$

Paso 3.3.2.1.11

Multiplica $16 (- \frac{512}{27})$ .

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Paso 3.3.2.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - 16 (\frac{512}{27})$

Paso 3.3.2.1.11.2

Combina $- 16$ y $\frac{512}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 16 \cdot 512}{27}$

Paso 3.3.2.1.11.3

Multiplica $- 16$ por $512$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} + \frac{- 8192}{27}$

Paso 3.3.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096}{27} - \frac{8192}{27}$

Paso 3.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{4096 - 8192}{27}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Resta $8192$ de $4096$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{- 4096}{27}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{8}{3}) = - \frac{4096}{27}$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- \frac{4096}{27}$ .

$- \frac{4096}{27}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{8}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3}$ es $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{8}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 {(- 2.7\overline{6})}^{2} + 96 (- 2.7\overline{6})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.7\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 36 \cdot 7.65\overline{4} + 96 (- 2.7\overline{6})$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $7.65\overline{4}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 + 96 (- 2.7\overline{6})$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $96$ por $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 275.56 - 265.6$

Paso 5.2.2

Resta $265.6$ de $275.56$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 9.96$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $9.96$ .

$9.96$

Paso 5.3

En $- 2.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $9.96$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{8}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{8}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{8}{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.33333333$ en la expresión.

$f'' (- 1.33333333) = 36 {(- 1.33333333)}^{2} + 96 (- 1.33333333)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.33333333$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.33333333) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.33333333)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.33333333) = 64 + 96 (- 1.33333333)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $96$ por $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 64 - 128$

Paso 6.2.2

Resta $128$ de $64$ .

$f'' (- 1.33333333) = - 64$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 64$ .

$- 64$

Paso 6.3

En $- 1.33333333$ , la segunda derivada es $- 64$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{8}{3}, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{8}{3}, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 96 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 96 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 96 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $96$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 9.6$

Paso 7.2.2

Suma $0.36$ y $9.6$ .

$f'' (0.1) = 9.96$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $9.96$ .

$9.96$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $9.96$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, - \frac{4096}{27}), (0, 0)$

Paso 9