Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Paso 1.3.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + 0$

Paso 1.3.3

Suma $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 x^{3} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 15$ .

$20 x^{3} - 30 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} - 30 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $20 x^{3} - 30 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 x$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} - 30 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 x$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$60 x^{2} - 30 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 30$ por $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 30$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{2} - 30$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{2}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 30]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30$ con respecto a $x$ es $0$ .

$120 x + 0$

Paso 4.3.2

Suma $120 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $120 x$ .

$120 x$