Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ como $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Paso 1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Paso 1.3.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 1.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 1.9.2

Resta $2$ de $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 1.10

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Paso 1.11

Combina $5$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 1.12

Multiplica $5$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{25}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.8

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Paso 2.9

Multiplica.

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Paso 2.9.1

Multiplica $3$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\frac{75}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.9

Multiplica $\frac{75}{4}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.10

Multiplica.

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Paso 3.10.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Paso 3.10.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $\frac{75}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Paso 4.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 4.9

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 4.10

Multiplica $\frac{75}{8}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Paso 4.11

Multiplica.

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Paso 4.11.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Paso 4.11.2

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$