Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Paso 2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ como ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Paso 3.4.2

Combina $6$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ como ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Combina $- 24$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$