Cálculo Ejemplos

$x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} y^{7} + 4 x^{8} y^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{7}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{4} y^{7}$ con respecto a $x$ es $y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y^{7} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$y^{7} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Paso 1.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{7}$ .

$4 y^{7} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{8} y^{6}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4 y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{8} y^{6}$ con respecto a $x$ es $4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$4 y^{7} x^{3} + 4 y^{6} (8 x^{7})$

Paso 1.3.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$4 y^{7} x^{3} + 32 y^{6} x^{7}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 y^{7} x^{3} + 32 x^{7} y^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{7} x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4 y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{7} x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 y^{7} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 y^{7} x^{2} + \frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 x^{7} y^{6}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $32 y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x^{7} y^{6}$ con respecto a $x$ es $32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$12 y^{7} x^{2} + 32 y^{6} (7 x^{6})$

Paso 2.3.3

Multiplica $7$ por $32$ .

$12 y^{7} x^{2} + 224 y^{6} x^{6}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 y^{7} x^{2} + 224 x^{6} y^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 y^{7} x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12 y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 y^{7} x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 y^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 y^{7} (2 x) + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 y^{7} x + \frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [224 x^{6} y^{6}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $224 y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $224 x^{6} y^{6}$ con respecto a $x$ es $224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$24 y^{7} x + 224 y^{6} (6 x^{5})$

Paso 3.3.3

Multiplica $6$ por $224$ .

$f''' (x) = 24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 y^{7} x + 1344 y^{6} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 y^{7} x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 y^{7} x]$ .

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Paso 4.2.1

Como $24 y^{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 y^{7} x$ con respecto a $x$ es $24 y^{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{7} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 y^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Paso 4.2.3

Multiplica $24$ por $1$ .

$24 y^{7} + \frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [1344 y^{6} x^{5}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $1344 y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1344 y^{6} x^{5}$ con respecto a $x$ es $1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$24 y^{7} + 1344 y^{6} (5 x^{4})$

Paso 4.3.3

Multiplica $5$ por $1344$ .

$f^{4} (x) = 24 y^{7} + 6720 y^{6} x^{4}$