Cálculo Ejemplos

$\sin (\frac{x}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Combina fracciones.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\cos (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 3.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{4} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f''' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{\cos (\frac{x}{2})}{8}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{8} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.3.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 4.3.2.2

Combina $\sin (\frac{x}{2})$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4.3.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.4

Combina fracciones.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{8}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16} \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{16}$