Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.3

Combina $5$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{20}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.2.6.2.4

Divide $4 x^{4}$ por $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{4} - 7 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 7$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{4} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $16 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 16 x^{3}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$16 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$f''' (x) = 48 x^{2}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$48 (2 x)$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$f^{4} (x) = 96 x$