Cálculo Ejemplos

$y = 4 x - \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 4.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$6 x^{- 4}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.5.2

Combina $6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{6}{x^{4}}$